Médias móveis Médias móveis Com conjuntos de dados convencionais, o valor médio é frequentemente o primeiro, e um dos mais úteis, estatísticas de resumo a calcular. Quando os dados estão na forma de uma série temporal, a média da série é uma medida útil, mas não reflete a natureza dinâmica dos dados. Os valores médios calculados em períodos em curto, anteriores ao período atual ou centrados no período atual, são freqüentemente mais úteis. Como esses valores médios variam ou se movem, à medida que o período atual se move a partir do tempo t 2, t 3, etc., eles são conhecidos como médias móveis (Mas). Uma média móvel simples é (tipicamente) a média não ponderada de k valores anteriores. Uma média móvel exponencialmente ponderada é essencialmente a mesma que uma média móvel simples, mas com contribuições para a média ponderada pela sua proximidade com o tempo atual. Como não existe uma, mas toda uma série de médias móveis para qualquer série, o conjunto de Mas pode ser plotado em gráficos, analisado como uma série e usado na modelagem e previsão. Uma gama de modelos pode ser construída usando médias móveis, e estes são conhecidos como modelos MA. Se tais modelos forem combinados com modelos autorregressivos (AR), os modelos compostos resultantes são conhecidos como modelos ARMA ou ARIMA (o I é para integrado). Médias móveis simples Uma vez que uma série temporal pode ser considerada como um conjunto de valores, t 1,2,3,4, n a média destes valores pode ser calculada. Se assumimos que n é bastante grande, e selecionamos um inteiro k que é muito menor que n. Podemos calcular um conjunto de médias de bloco, ou médias móveis simples (de ordem k): Cada medida representa a média dos valores de dados sobre um intervalo de k observações. Observe que a primeira MA possível de ordem k gt0 é aquela para t k. De forma mais geral, podemos descartar o subíndice extra nas expressões acima e escrever: Isto indica que a média estimada no tempo t é a média simples do valor observado no instante t e os intervalos de tempo k-1 anteriores. Se forem aplicados pesos que diminuam a contribuição de observações que estão mais distantes no tempo, a média móvel é dita ser suavizada exponencialmente. As médias móveis são frequentemente utilizadas como uma forma de previsão, pelo que o valor estimado para uma série no tempo t 1, S t 1. É tomado como o MA para o período até e incluindo o tempo t. por exemplo. A estimativa de hoje é baseada em uma média de valores anteriores registrados até e inclusive ontem (para dados diários). As médias móveis simples podem ser vistas como uma forma de suavização. No exemplo ilustrado abaixo, o conjunto de dados sobre poluição atmosférica mostrado na introdução deste tópico foi aumentado por uma linha de média móvel de 7 dias, mostrada aqui em vermelho. Como pode ser visto, a linha de MA suaviza os picos e depressões nos dados e pode ser muito útil na identificação de tendências. A fórmula de cálculo de referência padrão significa que os primeiros pontos de dados k-1 não têm valor de MA, mas depois os cálculos se estendem até o ponto de dados final da série. Uma razão para calcular médias móveis simples da maneira descrita é que ela permite que os valores sejam calculados para todos os intervalos de tempo desde o tempo tk até o presente, e Como uma nova medição é obtida para o tempo t 1, o MA para o tempo t 1 pode ser adicionado ao conjunto já calculado. Isso fornece um procedimento simples para conjuntos de dados dinâmicos. No entanto, existem alguns problemas com esta abordagem. É razoável argumentar que o valor médio nos últimos 3 períodos, digamos, deve ser localizado no tempo t -1, não no tempo t. E para um MA sobre um número par de períodos, talvez ele deve ser localizado no ponto médio entre dois intervalos de tempo. Uma solução para esse problema é usar cálculos centralizados de MA, nos quais o MA no tempo t é a média de um conjunto simétrico de valores em torno de t. Apesar de seus méritos óbvios, esta abordagem não é geralmente usada porque exige que os dados estejam disponíveis para eventos futuros, o que pode não ser o caso. Em casos onde a análise é inteiramente de uma série existente, o uso de Mas centralizado pode ser preferível. As médias móveis simples podem ser consideradas como uma forma de suavização, removendo alguns componentes de alta freqüência de uma série de tempo e destacando (mas não removendo) as tendências de forma semelhante à noção geral de filtragem digital. De fato, as médias móveis são uma forma de filtro linear. É possível aplicar um cálculo da média móvel a uma série que já tenha sido suavizada, isto é, suavizar ou filtrar uma série já suavizada. Por exemplo, com uma média móvel de ordem 2, podemos considerá-la como sendo calculada usando pesos, então a MA em x 2 0,5 x 1 0,5 x 2. Da mesma forma, a MA em x 3 0,5 x 2 0,5 x 3. Se nós Aplicar um segundo nível de suavização ou filtragem, temos 0,5 x 2 0,5 x 3 0,5 (0,5 x 1 0,5 x 2) 0,5 (0,5 x 2 0,5 x 3) 0,25 x 1 0,5 x 2 0,25 x 3 ou seja, a filtragem de 2 estádios Processo (ou convolução) produziu uma média móvel simétrica ponderada variável, com pesos. Várias circunvoluções podem produzir médias móveis ponderadas bastante complexas, algumas das quais foram encontradas de uso particular em campos especializados, como nos cálculos de seguros de vida. As médias móveis podem ser usadas para remover efeitos periódicos se computadas com o comprimento da periodicidade como um conhecido. Por exemplo, com os dados mensais as variações sazonais podem frequentemente ser removidas (se este for o objetivo) aplicando uma média móvel simétrica de 12 meses com todos os meses ponderados igualmente, exceto o primeiro eo último que são ponderados por 12. Isto é porque haverá Ser de 13 meses no modelo simétrico (tempo atual, t. - 6 meses). O total é dividido por 12. Procedimentos semelhantes podem ser adotados para qualquer periodicidade bem definida. Médias móveis exponencialmente ponderadas (EWMA) Com a fórmula da média móvel simples: todas as observações são igualmente ponderadas. Se chamássemos esses pesos iguais, alfa t. Cada um dos k pesos seria igual a 1 k. Então a soma dos pesos seria 1, ea fórmula seria: Já vimos que múltiplas aplicações desse processo resultam em pesos variando. Com médias móveis ponderadas exponencialmente, a contribuição para o valor médio das observações que são mais removidas no tempo é deliberada reduzida, enfatizando os eventos mais recentes (locais). Essencialmente um parâmetro de suavização, 0lt alfa lt1, é introduzido, ea fórmula revisada para: Uma versão simétrica desta fórmula seria da forma: Se os pesos no modelo simétrico são selecionados como os termos dos termos da expansão binomial, (1212) 2q. Eles somarão a 1, e quando q se tornar grande, aproximar-se-á da distribuição Normal. Esta é uma forma de ponderação do kernel, com o Binomial agindo como a função do kernel. A convolução de dois estágios descrita na subseção anterior é precisamente esta disposição, com q 1, produzindo os pesos. Em suavização exponencial é necessário usar um conjunto de pesos que somam 1 e que reduzem em tamanho geometricamente. Os pesos usados são tipicamente da forma: Para mostrar que esses pesos somam 1, considere a expansão de 1 como uma série. Podemos escrever e expandir a expressão entre parênteses usando a fórmula binomial (1-x) p. Onde x (1-) e p -1, o que dá: Isso então fornece uma forma de média móvel ponderada da forma: Esta soma pode ser escrita como uma relação de recorrência: o que simplifica muito a computação e evita o problema de que o regime de ponderação Deve ser estritamente infinito para os pesos a somar a 1 (para pequenos valores de alfa, isso normalmente não é o caso). A notação utilizada por diferentes autores varia. Alguns usam a letra S para indicar que a fórmula é essencialmente uma variável suavizada e escrevem: enquanto a literatura da teoria de controle usa freqüentemente Z em vez de S para os valores exponencialmente ponderados ou suavizados (ver, por exemplo, Lucas e Saccucci, 1990, LUC1 , Eo site do NIST para mais detalhes e exemplos trabalhados). As fórmulas citadas acima derivam do trabalho de Roberts (1959, ROB1), mas Hunter (1986, HUN1) usa uma expressão da forma: que pode ser mais apropriada para uso em alguns procedimentos de controle. Com alfa 1, a estimativa média é simplesmente o seu valor medido (ou o valor do item de dados anterior). Com 0,5 a estimativa é a média móvel simples das medições atuais e anteriores. Nos modelos de previsão, o valor, S t. É freqüentemente usado como estimativa ou valor de previsão para o próximo período de tempo, ou seja, como a estimativa para x no tempo t 1. Assim, temos: Isto mostra que o valor da previsão no tempo t 1 é uma combinação da média móvel exponencialmente ponderada anterior Mais um componente que representa o erro de previsão ponderado, epsilon. No tempo t. Supondo que uma série temporal é dada e uma previsão é necessária, um valor para alfa é necessário. Isto pode ser estimado a partir dos dados existentes, avaliando a soma dos erros de predição quadrados obtidos com valores variáveis de alfa para cada t 2,3. Definindo a primeira estimativa como sendo o primeiro valor de dados observado, x 1. Em aplicações de controle o valor de alfa é importante na medida em que é usado na determinação dos limites de controle superior e inferior e afeta o comprimento médio de execução (ARL) esperado Antes que esses limites de controle sejam quebrados (sob o pressuposto de que as séries temporais representam um conjunto de variáveis independentes, aleatoriamente distribuídas, com variância comum). Nestas circunstâncias, a variância da estatística de controlo é (Lucas e Saccucci, 1990): Os limites de controlo são normalmente definidos como múltiplos fixos desta variância assintótica, e. - 3 vezes o desvio padrão. Se alfa 0,25, por exemplo, e os dados sendo monitorados forem assumidos como tendo uma distribuição Normal, N (0,1), quando em controle, os limites de controle serão - 1,134 e o processo atingirá um ou outro limite em 500 passos na média. Lucas e Saccucci (1990 LUC1) derivam os ARLs para uma ampla gama de valores alfa e sob várias suposições usando procedimentos de Cadeia de Markov. Eles tabulam os resultados, incluindo o fornecimento de ARLs quando a média do processo de controle foi deslocada por algum múltiplo do desvio padrão. Por exemplo, com um deslocamento 0,5 com alfa 0,25 o ARL é menos de 50 etapas de tempo. As abordagens descritas acima são conhecidas como suavização exponencial única. Uma vez que os procedimentos são aplicados uma vez à série temporal e, em seguida, análises ou processos de controlo são realizados no conjunto de dados suavizado resultante. Se o conjunto de dados incluir uma tendência e / ou componentes sazonais, a suavização exponencial de dois ou três estágios pode ser aplicada como um meio de remover (explicitamente modelar) esses efeitos (veja a seção sobre Previsão abaixo eo exemplo trabalhado pelo NIST). CHA1 Chatfield C (1975) A Análise da Série de Tempos: Teoria e Prática. Chapman e Hall, Londres HUN1 Hunter J S (1986) A média móvel exponencialmente ponderada. J of Quality Technology, 18, 203-210 LUC1 Lucas J M, Saccucci M S (1990) Esquemas de controlo da média móvel ponderada exponencialmente: propriedades e melhoramentos. Technometrics, 32 (1), 1-12 ROB1 Roberts S W (1959) Testes de gráficos de controle baseados em médias móveis geométricas. Technometrics, 1, 239-250Derive a variância do exponencialmente ponderada Esta visualização mostra as páginas 38ndash42. Cadastre-se para ver o conteúdo completo. Derivar a variância da média móvel ponderada exponencial z i. 0 22 0 2 var () var (1)) var () 2 j t j j j j j j Zx x n 6154861548 6154861555 61548 61605 61485 61501 61605 61485 61501 6167361689 6150161485 61669 6167461690 6167561691 61669 6167061686 61501 6167161687 61485 6167261688 9.39. Equivalência da média móvel e controles de média móvel ponderados exponencialmente. Mostre que se 61548 2 (w 1) para o gráfico de controle EWMA, então este gráfico é equivalente a um gráfico de controle de média móvel w-período no sentido de que os limites de controle são idênticos no estado estacionário. Para a tabela EWMA, os limites de controlo no estado estacionário são 3 (2) xn 61555 61617 61485. Substituindo 61548 2 (w 1), 2 13 1 33 2 2 1 wxxx wn wn nw 6155561555 61483 61617 61501 61617 61501 61617 61485 61483. Que são os mesmos que os limites para o gráfico MA. 9,40. Continuação do Exercício 9.39. Mostre que se 61548 2 (w 1), então a média ldquoagesrdquo dos dados usados no cálculo das estatísticas z i e M i são idênticos. A média de idade dos dados em uma média móvel w-período é de 1 0 11 2 w j w j w 61485 61501 61485 61501 61669. Na EWMA, o peso dado a uma média de amostra j períodos atrás é 61548 (1 - 61548) j. Assim a idade média é 0 1) j j j 61605 61501 61485 6148561501 61669. Equacionando as idades médias: 2 2 1 w w 6148561485 61501 61501 61483 Esta pré-visualização apresenta secções intencionalmente desfocadas. Inscreva-se para ver a versão completa. SUMA CUMULATIVA E CARTAS DE CONTROLE MEDIA MOVENTE EXPONENCIALMENTE PONDERAS 9-39 9.41. Mostre como modificar os limites de controle para o gráfico de controle de média móvel se subgrupos racionais de tamanho n gt 1 forem observados a cada período eo objetivo do gráfico de controle é monitorar a média do processo. Para n gt 1, 00 33 Limites de controlo w n wn 6155561555 6154961549 6167061686 61501 61617 61501 61617 6167161687 6167261688 9.42. Um gráfico de Shewhart x tem linha central em 10 com UCL 16 e LCL 4. Suponha que você deseja complementar este gráfico com um gráfico de controle EWMA usando 61548 0,1 ea mesma largura de limite de controle em 61555 unidades como empregado no gráfico x. Quais são os valores dos limites de controle superior e inferior do estado estacionário na tabela EWMA? Gráfico: CL 10, UCL 16, LCL 4 CL UCL 16 10 6 xxxkkk 61555 6150161483 6150161485 61501 Gráfico EWMA: UCL CL (2) CL 0,1 ( 2 0,1) 10 6 (0,2294) 11,3765 LCL 10 6 (0,2294) 8,6236 ln 61548 61501 61483 61485 61501 61483 61485 61501 61483 61501 61501 61485 61501 9,43. Um gráfico de controle EWMA usa 61548 0,4. Quão grande será o limite no gráfico de controle de Shewhart, expresso como um múltiplo da largura dos limites de EWMA de estado estacionário Para EWMA, limites de estado estacionário são (2) L 61555 61548 6161761485 Para Shewhart, os limites de estado estacionário são k 61617) 0,4 (2 0,4) 0,5 kL 61501 9-40 CAPÍTULO 9 SOMA CUMULATIVA E CARTAS DE CONTROLE MÉDIO MOVIDO EXPONENCIALMENTE PONDERADAS 9.44. Considere os dados de falha da válvula no Exemplo 7.6. Configure um gráfico CUSUM para monitorar o tempo entre os eventos usando a abordagem da variável transformada ilustrada nesse exemplo. Utilizar valores padronizados de h 5 e k frac12. As duas alternativas para plotar um gráfico CUSUM com dados transformados são: 1. Transforme os dados, o alvo (se fornecido) e o desvio padrão (se fornecido); em seguida, use esses resultados na caixa de diálogo CUSUM Chart ou 2. Transforme o alvo (Se fornecido) eo desvio padrão (se fornecido), em seguida, use a guia Box-Cox sob CUSUM Opções para transformar os dados. A solução abaixo usa a alternativa 2. Esta visualização tem seções intencionalmente desfocadas. Inscreva-se para ver a versão completa. SUMA CUMULATIVA E GRÁFICOS DE CONTROLE MÉDIO MOVIDO EXPONENCIALMENTE PONDERADOS 9-41 9.44. Continuação Do Exemplo 7.6, transformar dados de tempo-entre-falhas (Y) para distribuição aproximadamente normal com X Y 0,2777. T 700, TX 700 0,2777 6,177, k 0,5, h 5 MTB gt Índice Gráficos de Controle gt Gráficos Ponderados pelo Tempo gt CUSUM Um CUSUM inferior unilateral é necessário para detectar um aumento na taxa de falha, ou equivalentemente uma diminuição no tempo - Entre-falhas. Avalie o menor CUSUM no gráfico Minitab para avaliar a estabilidade. Este é o final da pré-visualização. Inscreva-se para acessar o restante do documento. Esta ajuda de casa foi carregada em 10302016 para o curso IE 672 ensinado pelo Professor Abdou durante o outono 03914 termo em NJIT. Clique para editar os detalhes do documentoEu tenho um problema em entender um pedaço de papel. Aprecio muito qualquer dica ou ajuda. Ele diz: Um sensor grava Z (i) em intervalos de 1 segundo e calcula os valores de fundo U (i) usando a fórmula: onde R é um fator constante e U (0) é calculado a partir de dados de pré-medição. Agora, qualquer idéia se esta fórmula é famosa É um ruído de mistura gaussiana de dois termos Então, ele diz exatamente como isto: A variância U (i) desses valores é calculada a partir dos valores calculados U (i): onde k é sigma E T é o dado tempo de medição. Eu não tenho idéia de como a variação se tornou algo assim. Eu entendo o termo T ea função sqrt, mas a fórmula geral, nenhuma idéia.
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